中學生通訊解題第三期解答及評析

問題編號

88301

坐標平面上有相異的10個點,其中沒有三點在同一條直線上,每一點均為格子點,試證明這10個點兩兩之間的連接線段中,必有一個異於這10個點的格子點。( A為格子點的意思,就是點A坐標(m , n)中,m , n均為整數)

參考解答:因為10個點坐標均為格子點,根據整數的奇偶性來分類,可分為(,)(,)(,)(,)四個情形,故必有二個頂點的坐標其奇偶性一樣,設這兩個點為A,B,則線段AB的中點M必為格子點,因為10點中任3點不共線,所以M必異於這10點。

解題重點1.本題主要是利用鴿籠原理、整數奇偶性這兩個概念解決問題。

評析1.本次徵答的同學中,大部分同學均能掌握住利用鴿籠原理、奇偶性解決這個問題。解題的形式大致上有兩個方向:直接將點座標(m , n)分成(,)(,)(,)(,)四個情形或是討論兩點的座標差、座標差的奇偶性,在利用鴿籠原理去證明所求的格子點是存在的。不過有些同學對於找出來的格子點是否異於這10個點,並沒有加以注意,這是解題上的一個小瑕疵。

2.優良的徵答中,採用直接討論點座標奇偶性的有北市民生國中陳官暉古君揚江家瑋林沛妤洪偉傑,北市敦化國中劉峻豪,北市仁愛國中翁書鈞;討論兩點的座標差、座標差奇偶性的有北市永吉國中黃紹倫,北市螢橋國中吳奕緯

3.本題參答人數共有27人,答對的有21人,得分率為63%

 

問題編號

88302

九位好人好事代表,他們的年齡分別是10,21,22,23,24,31,40,86,87歲,已知其中有5位代表年齡總和是另外3位代表年齡總和的4倍,試問剩下1位代表的年齡是多少歲?

參考解答1 5位代表年齡總和為m,另3位代表年齡總和為n

由題意知m=4n

m+n=4n+n=5n

8位代表的年齡總和必為5之倍數

10= 5 ×2+ 0 31= 5 ×6+ 1

21= 5 ×4+ 1 40= 5 ×8 + 0

22= 5 ×4+ 2 86= 5 ×17+ 1

23= 5 ×4+ 3 87= 5 ×17+ 2

24= 5 ×4+ 4

檢驗245除之餘數為4,其餘8個數之餘數和恰可被5整除。故剩下數字必為24,即另一位代表的年齡為24歲。

參考解答2:設5位代表年齡總和為m,另3位代表年齡總和為n

而剩下一位代表為x歲。

由題意知 m=4n

九位代表年齡總和為 m+n+x=344

4n+n+x=344

5n+x=344

344-x=5n 5之倍數。

x之個位數必為49 x=24

即另一位代表年齡為24歲。

解題重點1.依題意正確假設。

2.利用倍數相關性質求解。

評析1.本題參答題人數共有184位,得分率為84%

2.答題品質較佳者有。北縣永和國中曾鈺翔宋岳穎,桃園縣東興國中吳添如,北縣明志國中鄭宇珊,北市民生國中余佳叡,北縣新泰國中李佩珊,北市南門國中秦子承,高市五福國中林佳瀅,北市仁愛國中張耀仁,基市銘傳國中白哲鳴,北縣明志國中楊雅婷,彰化縣員林國中羅元隆等。

 

 

問題編號

88303

如圖,在半徑為5,圓心為O的圓上,

依逆時針方向排列有A,B,C,D四點,且滿足

Ð AOB=Ð BOC=Ð COD,,試求

的長度。

 

 

 

 

參考解答
1)右圖中,過點作線段BE,使垂直直線OA,垂點為E

,

x2+y2=25 ¬

(x+5)2+y2=64 ­
¬­,

延長線段交線段點,作線段BC

因為,

所以,所以,

因為,,

所以,

2)右圖中,作垂足分別為三點


因為,

所以,

因為Ð 1=Ð 2=Ð 3=Ð 4=Ð 5=Ð 6,Ð 7=Ð 8

所以

,平行

所以四邊形為梯形,為高,設

梯形面積=  =  (xy+4x+3y+12)

梯形面積面積

所以 ®

¯

® ¯

=2y=  

評析1.本題共有83位優秀同學參與徵答,得分率為72%

2.同學解答內容概分成三類:

(i)利用三角形全等、相似等性質及三角形、梯形之面積關係之答題者有彰化文興中學馬銘徽、竹市新竹女中陳哲萱49位。

(ii)利用圓內接四邊形的托勒密性質答題者有北縣永和國中周朠,北市敦化國中劉峻豪、北市民生國中何芝穎,竹市光華國中賴俊儒17位。

(iii)利用三角學中的正、餘弦定理,和角及二、三倍角定理答題者有北縣義學國中蔡玉甫,竹林國中李孟峰6位。

3.本題若拓展為

時,必須引用餘弦定理、n倍角公式加以說明!若同學能提前學習,將

可增加解題的方向和視野。

問題編號

88304

有一個四邊形紙板ABCD,一面塗成白色,一面塗成黑色,現在將白面朝上,再將紙板分割成6小塊,然後把每一小塊翻過面來(黑面朝上),但不改變每一小塊的相對位置,請問此紙板要如何分割,才會使得翻過面後,仍然可以拼成原來的四邊形ABCD

 

參考解答:連接,利用幾何作圖找出D ABC A J

D ADC的內心I1、I2,由內心對 I2 I

三角形三邊分別作垂線,垂足為 E G

E、F、G、H、I、J(如圖),如此 I1

可構成六個四邊形AEI1G、EBFI1、 B C

FCGI1、AHI2J、DJI2I、HCII2,每個四邊

形都是軸對稱圖形,對稱軸分別為AI1

BI1、CI1、AI2、DI2、CI2,以這些軸為準,

將六個四邊形翻面,所得圖形仍然為原來的四邊形。

解題重點:1.依題意知分割成6小塊的每一塊均為軸對稱圖形。

2.連接任一對角線可將圖形分割成2個三角形,由三角形之相關性質著手。可有兩種情形:

¬ 若要使分割成的六小塊,每一塊均為四邊形,則此時可作2個三角形之內心,再過內心對三邊作垂線,可得六個鳶形。

­ 若要使分割成的六小塊,每一塊均為三角形,則此時可作2個三角形之外心,再過外心作三頂點連線,可得六個等腰三角形。

評析:1.本題意在評量同學對三角形性質的理解及應用能力。

2.本題答對者有27人,其中有7人敘述非常完整,此7人為北市民生國中
張聿珩吳佳靖洪偉傑林垣立陳官暉江家瑋,另1人為鳳山高中
育誠

3.得分率為89%。

問題編號

88305

某班學生共計24人,男女生各占一半。他們數學老師為加強「有號數乘法」單元的教學效果,請學生到操場面向圓心圍成兩個圓圈,男生在外圈,女生在內圈,且每一男生都要恰好站在一名女生的後方。然後發給每人一張寫有一個整數的牌子,要學生在哨音響起時,女生依逆時針,男生依順時針的方向,以原來排列的順序繞圈子移動,在哨音停止時,每一男生都要站在一名女生的身後。這時所有女生轉過身來,與身後的男生共同計算他們兩人手上牌子的整數乘積,並將結果報告給老師。老師發下數字牌時,已事先安排,使得所有男生手中數字牌上的數字和為負數,所有女生數字牌上的數字和也是負數。這時老師向同學們說:「不管你們怎樣轉圈圈,你們所得到的12個整數乘積之和永遠是個負數。」請你判斷老師這句話是對的或是錯的,並說明你的理由。

參考解答:

設男、女生依順時針方向的排列順序分別是a1a2a3、…、a12b1b2b3、…、b12,由題意知:a1a2a3+…+a12<0,且b1b2b3+…+b12<0。故

(a1a2a3+…+a12)(b1b2b3+…+b12)>0

哨聲停止時,男女生一一對應的相對位置共有12種不同的可能情況,設每一情形下12對男女生手中的牌數字乘積之總和分別是k1k2k3、…、k12,且

k1=a1b1a2b2a3b3+…+a12b12

k2=a1b2a2b3a3b4+…+a12b1

k3=a1b3a2b4a3b5+…+a12b2

…………………………………

k12=a1b12a2b1a3b2+…+a12b11

(3)k1k2k3+…+k12144項,重新排列後恰好可以因式分解成

k1k2k3+…+k12=(a1a2a3+…+a12)(b1b2b3+…+b12)>0,如果k1k2k3、…k12都小於0,則k1k2k3+…+k12<0,此與k1k2k3+…+k12>0之事實不符。所以k1k2k3、…、k12中必至少有一為正數,因此老師的話不真。

解題重點:本題的解題關鍵是在假設老師所說的話是對的情況下,逐步推演出與老師的話互相矛盾的結果,進而否定了老師所說的『所得到的12整數乘積之和永遠是個負數。』

評析1.本題參與徵答人數計有52位,幾乎全部學生都能判斷老師的話是錯誤的。但大部分都是直觀的判斷,或舉出特例說明其錯誤。

2.52位徵答人數中能以反證的觀念論證者有18位,但其中能說理清晰者只有7位,這顯示學生對於反證法的認識仍然不足。

3.本題答題品質較佳的有北市敦化國中劉峻豪郭玹銘,北市永吉國中黃國僑黃紹倫,北市民生國中林桓立,花蓮縣花蓮國中黃籃萱,新竹光華國中賴俊儒