中學生通訊解題第一期參考解答與評析

問題編號

88101


阿龍帶了一大群同學上山摘梨子。摘到n粒梨子(0£ n£ 10)的人數如下 表:

n ()

0

1

2

3

8

9

10

n
人數

6

4

0

4

5

2

1

已知 (a)摘到3粒或多於3粒的同學,平均每人摘到6粒。

    1. 摘到7粒或少於7粒的同學,平均每人摘到4粒。

問:所有上山摘梨子的同學有多少人?他們總計摘到多少粒梨子?

 

參考解答:

〈解法一〉

設上山摘梨子的同學有人,他們總計摘到粒梨子,

由已知條件(a)

6(x- 6- 4- 0)= y- (6×01×42×0)

ï 6=56………¬

由已知條件(b)

4(521)= - (8×59×210×1)

ï 4=- 36………­

¬ ­ =46()=220()

〈解法二〉

設共有位同學上山採梨子,

(a)知:摘到3粒或多於3粒的同學有位,共摘到粒梨子
(b)知:摘到7粒或少於7粒的同學有位,共摘到粒梨子

因為梨子總數不變,所以

(人) ,梨子總數 (個)

解題重點:

  1. 此題可設兩個未知數,利用二元一次聯立方程組求解。也可設一個未知 數,利用一元一次方程式求解。
  2. 一般而言,用二元一次聯立方程組求解,列方程式較容易,解題過程較繁雜。用一元一次方程式求解,列方程式較不易,解題過程較簡易。

評析:

  1. 本題屬於較為簡單的代數題目,參答人數共有234人,有203人答對,答對率約為87%。
  2. 有將近30位同學,假設摘到4粒、5粒、6粒、7粒人數分別為x,y,z,u,利用四元一次聯立方程組求解。
  3. 解答簡潔清晰者,計有桃園縣平鎮國中莊子由,北市民生國中黃彥豪陳官暉,中正國中林翊庭,螢橋國中丁奕理,麗山國中李永庭,北縣中正國中吳致寬吳致宏,民生國中何志威,盧洲國中許竣凱,海山國中柯俊賢,苗栗建台國中劉翊如藺次凡,基隆銘傳國中吳誌恩等同學,其中莊子由同學一人採用三種不同解法都簡單扼要,實為難得。

 

問題編號

88102


有一水果商,買進了一批橘子。當橘子分裝成11簍時,各簍的橘子數目正好是連續自然數。同樣,當橘子分別裝成12簍、13簍時,各簍的橘子數目也都是連續自然數。問這一批橘子最少有多少個?

參考解答:
〈解法一〉設橘子數為,則可以表示成
<i> 11個連續自然數的和,此時為第6項的11倍。
<ii> 12個連續自然數的和,此時(6項+第7)6倍。
<iii>13個連續自然數的和,此時為第7項的13倍。
=(11×6×13)n,n為正整數
n=1時,有最小值858,所以橘子最少有858個。
〈解法二〉設裝11簍時最少一簍裝個,

12簍時最少一簍裝個,

13簍時最少一簍裝

全部共有個橘子

所以11,613的公倍數, ,為正整數

有最小值858,所以橘子最少有858個。

解題重點:

  1. 說明橘子數是11,613的公倍數。
  2. 利用「公倍數是最小公倍數的倍數」得解。

評析:

  1. 本題答題人數共有206人,答對率約為86%。
  2. 少數同學沒有考慮「最小解」。
  3. 答對同學中,計有嘉義市北興國中蔡盈盈,台中市五權國中廖翊傑,基隆銘傳國中吳誌恩,北縣中正國中吳致寬,永和國中周朠蔡岳均,北市金華國中蔡怡娜,北投國中許凱迪,景美國中高汶率,民生國中古君揚許逸欣,中正國中楊若平李中川,介壽國中簡民惠,敦化國中施皓瀚林捷予,新民國中魏士傑等人解題扼要清晰,答題品質甚佳。其中廖翊傑同學現為國一學生,就有如此能力,實為難得。

 

問題編號

88103


某棟房子中,共有排成一直線的7個房間。每相鄰兩房間都有一個開關
,可同時控制相鄰兩房間的燈。每一開關都只有兩個方向,改變開關方向會使這兩房間的燈,原先亮的變暗,原先暗的變亮。
Œ 如果原先只有第
4間(正中央)房間的燈是亮的,試問:如何操作這6
開關,使得這7個房間的燈全部變亮?
 如果原先各房間的燈都是暗的,是否有方法操作這
6個開關,讓全部房間
的燈變亮,請說明你的理由?

參考解答:
(圖中的 代表燈亮的房間, 代表燈不亮的房間,。代表控制相鄰兩房間燈的開關。)
Œ

1

(開AF

     

A

 

B

 

C

 

D

 

E

 

F

   
                               

2

(開C

     

A

 

B

 

C

 

D

 

E

 

F

   
                               

3

(開D

     

A

 

B

 

C

 

D

 

E

 

F

   
                               

4

     

A

 

B

 

C

 

D

 

E

 

F

   
                               


 若原先每間房間都是暗的,則亮燈數是
0(為偶數)
每按一次開關,左右兩邊相鄰房間,亮燈情況有下列四種情況的轉變,
(亮,亮)ï (暗,暗) (亮,暗)ï (暗,亮)
(暗,暗)ï (亮,亮) (暗,亮)ï (亮,暗)
亦即每按下一個開關,只改變兩個房間的亮燈情形。
如此一來,亮燈房間的奇偶數仍維持不變,即,若原有奇數個房間亮燈,
則在按下一個開關後,仍維持奇數個房間亮燈;如原有偶數個房間亮燈,
則在按下一個開關後,仍維持偶數個房間亮燈。
因此,因為原亮燈數0為偶數,故永遠不可能將亮燈數變為7(奇數)之情形。
解題重點:

  1. 1小題,操作開關將亮的房間向左或向右移,使得連續暗的房間數均為偶數,即可辦到。
  2. 2小題的解題想法大致有兩個方向:
  1. 第一個是考慮開關打開前後,房間亮(或暗)的奇偶數不變,能將7個全暗的房間全變成亮的。
  2. 第二個方向是考慮房間由暗到亮改變亮暗的次數必為奇數,故7個房間亮暗改變的總數必為奇數,另一方面,每次開關操作前後改變房間亮暗數是偶數,故不能辦到。

評析:

  1. 本題是希望學生透過第1小題實際的操作能導出操作開關對於房間亮暗數奇偶性的影響,而得知能將房間由全暗變成全亮的規律。186位徵答的學生中,幾乎都能經由實際操作回答第1小題,答對率是98%,能得知可將房間由全暗變成全亮的規律,並完整回答第2小題者有70位,答對率是38%。有許多徵答者,都回答了7個全暗的房間不能變成全亮,但或許是平常甚少有將想法寫出來的機會,因此不能將自己的想法充分表達出來。
  2. 優良的徵答中,採用開關打開前後,房間亮(或暗)的奇偶數不變的有:敦化國中黃彥鈞林倢予林信淳,銘傳國中吳柏緯袁育凱,介壽國中簡民惠,高師大附中何思賢,台師大附中呂康豪,永吉國中黃邵倫,明德國中王琨傑,薇閣中學歐陽奕,花蓮女中黃籃萱,板橋高中何宸志,建國中學陳宗毅14位同學;採用考慮房間亮暗改變總數的有:北興國中蔡盈盈,金華國中羅謀聖2位同學;另外螢橋國中陳玉潔,中正國中羅卓吾2位同學則是採用反證法。

 

 

 

 

 

 

問題編號

88104


一個有蓋子的長方體木盒,其內部的底面是邊長40公分的正方形,深35公分。試問:這個木盒是否能裝入5個「直徑都是20公分」的木球,並且蓋子能完全蓋好?請說明你的理由。

參考解答:

分析:底面放進四個木球,並在底面四球上方再放一
個球,放置的位置必須使得所有相鄰的球皆兩
兩外切,如圖1所示。五球疊好後計算它們的
總高度是否超出35公分即可。

參考解答:
底面放進四個木球,並在底面四球上方再放一
個球,使得所有相鄰的球皆兩兩外切,如圖1
所示。五球疊好後,計算它們的高度。
疊好後的五個球的球心正好是正四角錐(金字
塔)的五個頂點,如圖2所示。
在圖2中,M中點,O是正四角錐底部正

方形的中心,ΔABD為邊長20公分之正三角形。
由畢氏定理,得
=10(公分)
=
故五個球疊好後的高度為
10101034.14公分<35公分
所以,此木盒可以裝進五個「直徑20公分」的木球。

解題重點:

  1. 先算出「以五個球心為頂點」之正四角錐的高度h=10
  2. 正四角錐的高度h,加上"頂球"的半徑及"底球"的半徑,就是五個球疊好後的總高度2010<35(木盒的深度)。
  3. 畢氏定理的應用:直角三角形中,斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和。

4.能估算約等於1.414......

評析:

  1. 本題旨在評量學生的「空間想像能力」,以及是否能活用「商高定理」去
  2. 解決問題。

  3. 本題答對者有84人,其中有不少學生圖示清晰,說理簡明。如:竹市光華國中國一賴俊儒;永和國中國一許銘麟鄭宇翔;福和國中國一李駿廷;民生國中國一黃彥豪;永吉國中國一黃紹倫;台北師大附中國一莫立平;敦化國中國二邱奕峰;基市銘傳國中國一李曼鈺、國三李穎楨;永和國中國三學生周朠,用座標幾何解答,別具心思。
  4. 本題答對率約56%。
  5. 亦有部份學生"誤解"如下:

如圖,

故五個球之高度為

所以木盒裝不進五個木球。

 

問題編號

88105


有互相垂直的兩組平行線,每組各有12條,我們把這兩組平行線的144個交點中的每一點都染成紅、黃、綠三色之一。試證明:可以找到一個矩形,它的頂點是144個交點中同色4點,並且它的邊都在這兩組平行線上。
(解答這條題目要用到一個淺顯的原理:把
12隻鴿子放入5個籠子堙A必有一個籠子至少有3隻鴿子。)

參考解答:
在開始說明之前,我們不妨先假設有兩組平行直線:一組為水平直線;另一組

為垂直直線。我們稱水平直線為列;垂直直線為行。

  1. 因每一列、每一行上都恰有個點,而共有種顏色,所以每一列、每一行上的個點的染色情形可分成兩種可能:
  2. ¬ 每一列及每一行上都恰有紅、黃、綠點各點;

    ­ 存在一列或一行,其上有個或個以上同色點。

  3. 先考慮¬ 的情形。這時,不妨設第列上的個紅點落在第行的位置上。則在第行上都恰剩下3個紅點,而且它們落在第列至第列之間,於是共有個紅點落在這11列之上。所以至少有個紅點落在同一列上。不妨設它們落在第列上且在第行上,於是在第列且在第行上的兩個紅點與在第列上且在第行上的個紅點便是滿足要求的點。
  4. 考慮 的情形。不妨設第列上有5個紅點,且他們分別在第 行上。若上的紅點數超過5,我們只需取其中5個紅點討論即可。 假設結論不成立。於是像情況 中那樣可證得上,除了第列上的5個紅點外,至多還有11個紅點。因而其中的黃點與綠點至少有個。不妨假設黃點數不少於22個,因此5條鉛直線中必有一直線,其中至少有5個黃點,不妨設其中5個黃點是
五列的交點。

 

 

s s n n n

s s

s s

s s

s s

n n n n n n n n n n

 

圖(一) 圖(二)

 

考慮上圖(一)中介於之間且介於之間的交點(共個),由反證假設知其中至多有5個紅點、4個黃點,所以至少有個綠點,從而五條線中必有一條線中其上至少有3個綠點。不妨設上有3個綠點,且他們分別在上。

考慮圖(二)中介於之間且介於之間的交點(共個),由反證假設知其中至多有4個紅點、3個黃點、4個綠點,所以最多可得個點,此與這區域裡共有12個點矛盾。故結論錯誤的假設不成立,也就是必定存在一個四頂點同色之矩形。

 

解題重點:

由鴿籠原理知,在144個交點中,塗上3色必至少有同色點48個,且在同列(或同行)的12個點中塗上3色也必有同色點至少4個,再針對下列情況作討論:(1)考慮每一列與每一行同色點皆為4個的情況。

2)考慮同一列(或行)的同色點個數大於四個的情況。

評析:

  1. 本題參與徵答人數計有42位,答對人數1位,答對率為2.4
  2. 本題有提示鴿籠原理,但大部分同學掌握不住〝要點〞討論。其中能由此原理知,所有交點中同色點至少48個的同學有16位,知一列12個交點中同色點至少4個的有23位;而能證明出上述情況(1)的人數只有11位。
  3. 有些徵答者的證明表達不清楚,或稍嫌雜亂,若能多配合圖形討論,就可更有條理的解說清楚。
  4. 本題答題品質較佳者有台北市永吉國中一年17黃紹倫同學。